От математики до модели

От математики до модели

В отличие от моделей из пластика или глины, которые отображают внешний вид объекта, модель процесса отображает, как контролируемый процесс реагирует на управляющее воздействие и помехи. Модель процесса обычно описывается с помощью математических уравнений, которые определяют соотношение между входами и выходами процесса.

Модели помогают изучить контуры ПИД-регулирования и используются для разработки систем управления процессом. Рассмотрим, к примеру, процесс, в котором используется цилиндрический резервуар, заполняемый водой, как показано на иллюстрации „Модель простого процесса”.При скорости наполнения резервуара водой F уровень жидкости через несколько минут заполнения t будет равен:

где R — это радиус резервуара. Такую модель можно использовать для прогнозирования, как долго должен работать контроллер для заполнения резервуара.

 

Элементы модели

Более сложные модели процесса могут содержать больше переменных, связанных менее тривиальными соотношениями, но все модели стационарных процессов состоят из четырех базовых элементов:

  • входные переменные;
  • выходные переменные;
  • константы;
  • операторы.

Выходные переменные — это параметры, которые должны быть рассчитаны на основании значений входных переменных. В примере заполнения резервуара L является выходным параметром, который можно прогнозировать на базе входных параметров t и F.

Значение R является константой, определяющей поперечный размер резервуара. Константами обычно являются фундаментальные постоянные физики, химии, экономики, геометрии и и.д., они определяют поведение процесса. Эти значения не меняются со временем в отличие от входных и выходных переменных.

Операторы определяют математические операции, необходимые для вычисления значения выходов на основании значений входов и констант. Они могут быть простыми, например, функции умножения и возведения в квадрат в уравнении (1) или сложными, как, например, преобразование Лапласа и статистические распределения.

 

Модели управления

Модели процесса полезно использовать для разработки, внедрения и тестирования схем управления с обратной связью. Для большинства аналитических методов требуется модель с коэффициентами усиления и временными параметрами, которые определяют, как быстро процесс реагирует на управляющее воздействие. Знание параметров модели позволяют инженеру разработать „агрессивный» контроллер для медленных процессов или консервативный контроллер для быстрых процессов.

 

Модель простого процесса

Такая простая модель прогнозирует уровень воды L внутри цилиндрического резервуара радиусом R через определенное время заполнения t со скоростью F. Источник: Control Engineering

Такая простая модель прогнозирует уровень воды L внутри цилиндрического резервуара радиусом R через определенное время заполнения t со скоростью F. Источник: Control Engineering

Подобным образом контроллеры с упреждающим управлением могут использовать математические модели для определения силы управляющего воздействия, необходимого для достижения определенного значения регулируемой переменной. Они обычно выполняют такие вычисления в режиме реального времени.

Если схема управления уже разработана для какого-либо конкретного применения, то модель процесса может быть использована для тестирования этой схемы в виртуальном режиме. Расчетные уравнения модели можно ввести в контроллер или отдельный тестирующий компьютер с помощью программного кода или одного из нескольких специализированных языков моделирования. Модели, работающие в компьютерной среде, помогут быстро обнаружить недостатки в предлагаемой схеме управления без риска повреждения реального процесса.

 

Пример разработки модели

Разработка модели для любой цели заключается в описании характера процесса с помощью набора управляющих уравнений, например, уравнения (1). Рассмотрим пример, отображенный на рисунке „Модель обратного маятника» в котором тяжелая нагрузка находится сверху упругого стержня, прикрепленного к земле. Горизонтальное воздействие приводит к тому, что нагрузка начинает качаться из стороны в сторону по дуге.

Поведение этого устройства можно использовать для исследования различных моделей. Это может быть детская игрушка „неваляшка» или упрощенное представление высокого здания, которое колеблется от ветра. С использованием дополнительных сочленений таким образом можно представить приблизительное перемещение ноги человека за один шаг.

Независимо от применения, основные принципы физики одни и те же. Сила гравитации груза противопоставляется сопротивлению стержня. Поскольку система в целом имеет суммарную массу нагрузки и стержня в килограммах m, ее центр масс расположен на расстоянии h над землей, то поведение всей системы может рассматриваться с позиции измерения ее углового отклонения 8 относительно положения равновесия, как показано на рисунке.

 

Проверка в реальных условиях

Поскольку это относится почти ко всем простым процессам, эта модель является приближенным отображением реальности. Предполагается, что ни одна из других сил, например, сила трения, не влияет на смещение нагрузки, и упругое усилие стержня пропорционально угловому отклонению 8. Также предполагается, что в момент воздействия стержень находился в абсолютно вертикальном положении (т.е. первоначальное значение углового отклонения 8 равно нулю).

Последующее упрощение обычно применяется к уравнению (2). В случае малых амплитуд колебаний стержня sin(6) является малой величиной, приблизительно равной 8. В результате такого упрощения получается уравнение (3), эта зависимость является линейной по отношению к величине углового смещения с углом наклона — (k — mg)/mh.

Модель процесса обратного маятника

Упрощенная модель обратного маятника

Решение упрощенной модели

где

Угловое ускорение является второй производной по времени от углового смещения, t — это момент времени с начала колебаний, — это начальная угловая скорость, переданная нагрузке помехой, А — это амплитуда последовательных колебаний системы, — это частота колебаний. Значения А и — это константы, которые зависят от k, m, g, h и 6’0, как показано в уравнениях (5) и (6).

Тем не менее, действительный смысл уравнения (3) заключается в описании зависимости угла отклонения 6 от времени для прогнозирования следующего положения системы. Случай с линейным уравнением (3) является очень упрощенным. Фактически уравнение (3) можно точно аналитически решить относительно (t), результатом является уравнение (4).

Аналогичное аналитическое решение уравнения (2) должно быть намного более сложным в связи с наличием нелинейной функции синус. Специалистам по системам управления иногда приходится намеренно упрощать уравнения модели для упрощения решения математической задачи в ущерб точности предсказаний модели.

 

Ограничения

К сожалению, даже упрощенное уравнение (3) не будет полезным для контроля выходной переменной (t). В отличие от реального процесса оно не включает входные переменные, которыми мог бы манипулировать контроллер для расчетов нового углового положения или скорости перемещения нагрузки.

Даже если этот процесс и его модель изменить, включив механизм управления (например, путем установки всего этого приспособления на платформу с гидравлическим приводом), то такая модель все равно будет иметь ограничения. Она работает при условии, что вызванные колебания остаются малыми, при этом sin()~. В противном случае процесс начинает вести себя в соответствии с уравнением (2), а не с уравнением (3).

Поведение большинства реальных процессов отличается, если входные и выходные переменные изменяют значения с низких на высокие и обратно (так называемый гистерезис). Даже модель заполнения резервуара не даст положительного результата, если резервуар заполнить до уровня, когда его стенки начнут деформироваться. В модели процесса необходимо учитывать такие изменения, в противном случае контроллер, который полагается на эту модель, не получит предсказываемых результатов.

Уравнение (3) также не является удовлетворительным для описания фактического перемещения обратного маятника, если начальные условия определены некорректно. В этой модели учитывается начальное условие (угловая скорость нагрузки в момент воздействия при t=0). Уравнение (6) демонстрирует, как значение определяет амплитуду последующих колебаний нагрузки. Чем больше начальная скорость, сообщенная внешним воздействием, тем больше нагрузка будет отклоняться при каждом колебании.

Тем не менее, если значение измерено неправильно, то амплитуда колебаний, прогнозируемых этой моделью, не будет соответствовать фактическому перемещению нагрузки. Таким же образом, если нагрузка начинает колебания из положения, отличного от строго вертикального (то есть (0)=0), то прогнозы модели будут искажены. В приложениях, когда управление процессом зависит от хорошего соответствия между прогнозами модели и фактическим характером процесса, специалисты систем управления часто пытаются начать процесс при первоначальных нулевых условиях во избежание несоответствия с моделью в результате ошибки в начальных условиях.

 

Модель обратного маятника

Эта подпружиненная нагрузка имеет общую массу m, расстояние от центра масс до точки поворота h. Пружина отклоняется по дуге от вертикального положения после горизонтального воздействия. Сила тяжести нагрузки - mg.sin противопоставляется упругому усилию стержня k. Константы g и k представляют ускорение свободного падения и модуль упругости стержня. Источник: Control Engineering с данными от The Math Works

Эта подпружиненная нагрузка имеет общую массу m, расстояние от центра масс до точки поворота h. Пружина отклоняется по дуге от вертикального положения после горизонтального воздействия. Сила тяжести нагрузки — mg.sin противопоставляется упругому усилию стержня k. Константы g и k представляют ускорение свободного падения и модуль упругости стержня. Источник: Control Engineering с данными от The Math Works

 

Результаты моделирования

Но если такие ограничения можно определить и минимизировать, то правильно разработанная модель процесса может описать поведение процесса достаточно корректно. Для обеспечения необходимой точности инженеры-технологи производят тестирование системы на ряде стандартных тестов с различными условиями, в которых поведение процесса заведомо известно.

Например, здание будет продолжать колебаться при усилении порывов ветра. Модель обратного маятника можно протестировать в аналогичных условиях путем увеличения начальной угловой скорости 8’0, передаваемой воздействием. Уравнение (6) предсказывает, что амплитуда колебаний модели будет увеличиваться прямо пропорционально начальной угловой скорости, так же будет себя вести и здание.

Но моделирование может принести максимальную пользу, если его проводить с использованием условий, которые никогда не реализовались на практике. В частности, в процессе моделирования может обнаружиться непредсказуемое поведение системы, вызывающее опасную ситуацию, которой следует избегать в реальных процессах. С другой стороны, могут быть найдены режимы работы системы с более высокой производительностью по сравнению с текущими значениями. С помощью полностью смоделированного технологического процесса на базе тщательно проверенных моделей инженеры-технологи могут методом проб и ошибок найти сочетания рабочих условий (температуры, давления, расхода и пр.), которые позволят оптимизировать производство при меньших затратах.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *